Bilangan Floating Point

Email : wawans57@yahoo.com 

                pin     : 29a1822c

Bilangan yang mempunyai nilai pecahan (misalnya 3.2575) dapat direpresentasikan dengan dua format bilangan: fixed-point dan floating-point.

Bilangan pecahan fixed-point mempunyai jangkauan yang dibatasi oleh jumlah digit signifikan yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan tersebut. Misalnya bilangan pecahan desimal sepuluh digit. Bilangan tersebut dinyatakan dengan fixed-point, yaitu satu digit untuk tanda, empat digit untuk angka utuh dan lima digit untuk angka pecahan. Jangkauan bilangan tersebut adalah 0 sampai 9999 untuk angka utuh dan 0.00001 sampai 0.99999 untuk angka pecahan, sehingga nilai bilangan yang mungkin adalah -9999.99999 sampai +9999.99999 dengan presisi 0.00001. Contoh bilangan tersebut yang valid adalah -9.00102 dan 100.99998. Bilangan ±10000 tidak bisa dinyatakan dengan sistem bilangan sepuluh digit ini. Sedangkan bilangan 0.000005 tidak memenuhi derajat presisi yang diinginkan, walaupun berada dalam jangkauan bilangan. Bilangan tersebut akan dibulatkan ke 0.00000 atau 0.00001, yang berarti ada selisih sebesar ±0.000005 dari nilai yang diinginkan.

Dalam aplikasi saintifik, mungkin akan terdapat bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bilangan tersebut harus dapat direpresentasikan dengan tepat (presisi), yaitu menggunakan floating-point. Bilangan floating-point direpresentasikan dengan mantissa yang berisi digit signifikan dan eksponen dari radix R

Format: mantisa × R^eksponen

Represensasi bilangan floating-point seringkali dinormalisasi terhadap radixnya, misalnya 1, 5 × 10⁴⁴atau 1, 253 × 10 ^− 36

Format bilangan floating-point biner telah distandarkan oleh IEEE 754-2008 (atau ISO/IEC/IEEE 60559:2011), yaitu meliputi format 16-bit (half), 32-bit (single-precision), 64-bit (double-precision), 80-bit (double-extended) dan 128-bit (quad-precision). Di bab ini hanya dibahas tentang format dasar, yaitu 32-bit dan 64-bit.

Bilangan Floating-Point 32-bit (single-precision)

Bilangan floating-point 32-bit tersusun atas (Gambar 0.1↓):

• 1 bit tanda (S),
• 8 bit eksponen (E), dan
• 23 bit untuk mantisa (M)

Format bilangan floating-point 32-bit Figure 0.1

Bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S=0 dan negatif jika S=1.

Field eksponen adalah radix 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-127. Nilai 127 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 127. Dengan excess-127, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 255.

• Nilai ekstrem adalah untuk E=0 dan E=255
• E=0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
• E=255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0);
• Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 254 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -126 sampai 127
• Contoh: E_min(1) =  − 126, E(50) =  − 77 dan E_max(254) = 127;

Eksponen (E)	Mantissa=0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	subnormal	( − 1)S × 0.bit signifikan × 2 − 126
1-254	Nilai ternormalisasi		( − 1)S × 1.bit signifikan × 2E − 127
255	∞	bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Nilai eksponen di format floating-point 32-bit Table 0.1

Saat nilai mantisa (M) dinormalisasi, most significant bit (MSB) selalu 1. Namun, bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa (Tabel 0.1↑). Nilai mantisa yang sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Di bilangan subnormal, nilai mantisa sebenarnya adalah 0.M, sehingga bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 23 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 24 bit atau sekitar 7 digit desimal (yaitu 24 × log₁₀(2) = 7.225).

Dalam pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data float (bahasa C, C++, Java) dan single (Pascal, VB, MATLAB).

float anumber; // 32-bit single precision number

int main(){

anumber = -1.1245;

...

return 0;

}

Contoh 1

Bilangan floating-point dinyatakan dengan B = 0x3E600000 . Nyatakan B sebagai bilangan pecahan desimal.

Representasi bilangan floating-point 32-bit dapat dinyatakan seperti Gambar 0.2↓.

Jadi, B = 0x3E6300000 menyatakan bilangan floating-point 0.21875

Contoh bilangan floating-point 32-bit Figure 0.2 B = 0x3E60000

Contoh 2

Tentukan nilai pecahan desimal dari bilangan floating-point B=0×00600000 (Gambar 0.3↓)

Bilangan B mempunyai E = 0 dan M ≠ 0, sehingga merupakan bilangan subnormal dan berlaku persamaan bilangan subnormal. Nilai pecahan desimal dari bilangan subnormal B adalah:

Contoh bilangan floating-point 32-bit Figure 0.3 B = 0x0060000

Contoh 3

Nyatakan bilangan pecahan desimal B=35.625 dalam format floating-point 32-bit

Bilangan B dipecah menjadi bilangan utuh dan bilangan pecahan. Bilangan utuh dan bilangan pecahan dikonversikan ke biner (nyatakan bilangan seperti di fixed-point). Kedua bilangan tersebut disatukan dan dinormalkan (geser) untuk mendapatkan nilai mantissa dan eksponen akhir.

B	=	(35.625)10
	=	(35)10 + (0.625)10
	=	(100011)2 + (0.1001)2
	=	(100011.1001)2
	=	(1.000111001)2 × 25

Dari perhitungan di atas, nilai eksponen E = 5 + 127 = 132 = 10000100 dan mantissa M = 000111001, sehingga diperoleh B = 0x420E4000 (Gambar 0.4↓).

Contoh bilangan floating-point 32-bit Figure 0.4 B = 35.625

Bilangan floating-point negatif mempunyai bentuk sign-magnitude, yaitu nilai S menunjukkan tanda sedangkan besar nilai ditunjukkan oleh mantissa dan eksponennya.

Contoh 4

Nyatakan format floating-point 32-bit dari bilangan A =  − 0.21875

Dari Contoh ↑, nilai bilangan − A =  + 0.21875 adalah 0x3E600000. Dengan mengubah field S=1, maka bilangan A dinyatakan dengan 0xBE600000 (Gambar 0.5↓)

Bilangan negatif Figure 0.5 A =  − 0.21875 dinyatakan dengan 0xBE600000

Bilangan Floating-Point 64-bit (double-precision)

Bilangan floating-point 64-bit tersusun atas (Gambar 0.6↓):

• 1 bit tanda (S),
• 11 bit eksponen (E), dan
• 52 bit untuk mantisa (M)

Format bilangan floating-point 64-bit Figure 0.6

Seperti halnya dengan bilangan single-precission, bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S=0 dan negatif jika S=1. Field eksponen adalah radix 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-1023. Nilai 1023 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 1023. Dengan excess-1023, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 2047.

• Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 2047
• E=0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
• E=2047 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0) (Tabel 0.2↓);
• Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 2046 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -1022 sampai 1023
• Contoh: E_min(1) =  − 1022, E(100) =  − 923 dan E_max(2046) = 1023;

Eksponen (E)	Mantissa=0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	subnormal	( − 1)S × 0.bit signifikan × 2 − 1022
1-2046	Nilai ternormalisasi		( − 1)S × 1.bit signifikan × 2E − 1023
2047	∞	bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Nilai eksponen di format floating-point 64-bit Table 0.2

Nilai mantisa (M) dinormalisasi, yang berarti most significant bit (MSB) selalu 1. Bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa. Nilai mantisa sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 52 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 53 bit atau sekitar 16 digit desimal (yaitu 53 × log₁₀(2) = 15.995).

Dalam pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data double (bahasa C, C++, Java).

double anumber; // 64-bit double precision number

int main(){

anumber = -1.1245;

...

return 0; }

Contoh 5

Bilangan floating-point dinyatakan dengan B = 0x3FD5000000000000 . Nyatakan B sebagai bilangan pecahan desimal.

Representasi bilangan floating-point 64-bit dapat dinyatakan seperti Gambar 0.7↓.

Jadi, B = 0x3FD5000000000000 menyatakan bilangan floating-point 0.328125

Contoh bilangan floating-point 64-bit Figure 0.7 B = 0x3FD5000000000000 = 0.328125

Contoh 6

Nyatakan bilangan pecahan desimal B=35.625 dalam format floating-point 64-bit

Bilangan B dipecah menjadi bilangan utuh dan bilangan pecahan. Bilangan utuh dan bilangan pecahan dikonversikan ke biner (nyatakan bilangan seperti di fixed-point). Kedua bilangan tersebut disatukan dan dinormalkan (geser) untuk mendapatkan nilai mantissa dan eksponen akhir.

B	=	(35.625)10
	=	(35)10 + (0.625)10
	=	(100011)2 + (0.1001)2
	=	(100011.1001)2
	=	(1.000111001)2 × 25

Dari perhitungan di atas, nilai eksponen E = 5 + 1023 = 1028 = 10000000100 dan mantissa M = 000111001, sehingga diperoleh B = 0x4041C800000000 (Gambar 0.8↓).

Contoh bilangan floating-point 64-bit Figure 0.8 B = 35.625

Bilangan floating-point negatif mempunyai bentuk sign-magnitude, yaitu nilai S menunjukkan tanda sedangkan besar nilai ditunjukkan oleh mantissa dan eksponennya.

Contoh 7

Nyatakan format floating-point 32-bit dari bilangan A =  − 0.328125

Dari Contoh 0.7↑, nilai bilangan − A =  + 0.328125 adalah 0x3FD5000000000000. Dengan mengubah field S=1, maka bilangan A dinyatakan dengan 0xBFD5000000000000 (Gambar 0.9↓)

Bilangan negatif Figure 0.9 A =  − 0.328125 dinyatakan dengan 0x3FD5000000000000

Latihan

1. Nyatakan bilangan pecahan desimal dari bilangan floating-point A = 0xCF200000
2. Hitung nilai maksimal bilangan floating-point 32-bit normal
3. Hitung nilai minimal dan maksimal bilangan floating-point 32-bit subnormal
4. Nyatakan bilangan (3.5)₁₀ dalam format single